Suites
Les suites
I Rappels sur les suites
1. Généralités
Une suite numérique u est une fonction de \N dans \R qui associe à tout entier naturel n \ge n_0 associe un nombre noté u_n.
La suite u peut être également notée \left(u_n\right)_{n\ge n_0} ou \left(u_n\right).
Le nombre u_n est le terme de la suite de rang \boldsymbol{n}. Il peut également désigner le terme général de la suite.
Si n=n_0, u_{n_0} est appelé le premier terme de la suite.
Exemples :
- La suite u définie pour tout entier naturel n par u_n = 2n. Le premier terme de cette suite est donc u_0 = 2 \times 0 = 0.
- La suite v définie pour tout entier naturel non nul n par v_n=\dfrac{2}{n}. Le premier terme de cette suite est donc v_1=\dfrac{2}{1} = 2.
Remarque : Attention à ne pas confondre la suite \left(u_n\right) avec son terme général u_n.
Définition 2 : On peut définir une suite \left(u_n\right):
- de façon explicite : le terme général u_nne dépend que de n. Il existe donc une fonction ftelle que, pour tout entier naturel npour lesquels la suite est définie, u_n=f(n).
- par récurrence : le terme général u_n dépend d’un ou plusieurs termes précédents.
Exemples :
- Définition explicite :
- La suite \left(u_n\right)définie par u_n=2n+1pour tout entier naturel n.
- La suite \left(v_n\right)définie par v_n=\sqrt{n} pour tout entier naturel n.
- Suites définies par récurrence :
- La suite \left(u_n\right)définie par \begin{cases} u_0=1 \\u_{n+1}=u_n+2 \text{ pour tout entier naturel }n \end{cases}.
- La suite \left(v_n\right) définie par \begin{cases} v_0=1 \text{ et } v_1=2 \\v_{n+2}=v_{n+1}-2v_n \text{ pour tout entier naturel }n \end{cases}.
Définition 3 :
- Une suite \left(u_n\right)est dite croissante (respectivement strictement croissante) si, et seulement si, u_{n+1} \ge u_n\big(resp. u_{n+1} > u_n\big) pour tout entier naturel n.
- Une suite \left(u_n\right)est dite décroissante (respectivement strictement décroissante) si, et seulement si, u_{n+1} \le u_n\big(resp. u_{n+1} < u_n\big)pour tout entier naturel n.
- Une suite \left(u_n\right)est dite (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) croissante.
- Une suite \left(u_n\right)est dite constante si u_{n+1}=u_npour tout entier naturel n.
Remarques :
- Généralement pour montrer qu’une suite est monotone on va étudier le signe de la différence u_{n+1}-u_n.
Si u_{n+1}-u_n \ge 0 alors la suite est croissante.
Si u_{n+1}-u_n \le 0 alors la suite est décroissante. - Les définitions précédentes peuvent être généralisée au cas où la suite est monotone ou constante à partir d’un rang p.
Exemple : On veut étudier le sens de variation de la suite \left(u_n\right)définie, pour tout entier naturel n, par u_n=\sqrt{n}
\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
&=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \times \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
&=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\end{align*}
Une racine carrée est toujours positive donc \sqrt{n+1}+\sqrt{n} > 0.
Par conséquent u_{n+1}-u_n > 0et la suite \left(u_n\right)est strictement croissante.
Remarque : A la deuxième ligne, on a multiplié l’expreiffon par 1sous une forme particulière de façon à faire apparaître une identité remarque. On dit qu’on a multiplié par l'{expreiffon conjuguée}.
Définition 4 :
- On dit qu’une suite \left(u_n\right) est minorée si, et seulement si, il existe un réel mtel que, pour tout entier naturel non a u_n\ge mou encore u_n-m \ge 0.
- On dit qu’une suite \left(u_n\right) est majorée si, et seulement si, il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n on a u_n\le M ou encore u_n-M \le 0.
- Une suite \left(u_n\right) est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Exemple : Montrons que la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par u_n=\dfrac{3n+1}{n+1} est majorée par 3.
\begin{align*}
u_n-3&=\dfrac{3n+1}{n+1}-3 \\
&=\dfrac{3n+1}{n+1}-\dfrac{3(n+1)}{n+1}\\
&=\dfrac{3n+1-3n-3}{n+1}\\
&=\dfrac{-2}{n+1}
\end{align*}
Pour tout entier naturel n, on a n+1>0.
Donc, pour tout entier naturel n, u_n-3<0.
La suite \left(u_n\right) est bien majorée par 3.
Remarque : Le majorant qu’on obtient n’est pas toujours le “meilleur” majorant.
Dans l’exemple précédent, on aurait pu montrer que u_n-4<0 également.
2. Les suites arithmétiques
Le nombre r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Exemple : La suite \left(u_n\right) définie par \begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=u_n+4 \end{cases} est une suite arithmétique de premier terme u_0=2 et de raison 4.
Propriété 1 :
- On considère une suite arithmétique \left(u_n\right)de raison ret de premier terme u_0.
Pour tout entier naturel non a u_n=u_0+nr. - On considère une suite arithmétique \left(u_n\right)de raison ret de premier terme u_1.
Pour tout entier naturel nnon nul on a u_n=u_1+(n-1)r.
Remarque : D’une manière générale u_n=u_p+(n-p)r pour tout entier naturel n \ge p.
Exemple : On considère la suite arithmétique \left(u_n\right)d e premier terme u_0=2 et de raison 4.
Alors, pour tout entier naturel n, on a u_n=2+4n.
Propriété 2 : On considère la suite arithmétique \left(u_n\right)de raison r.
- Si r<0 alors la suite \left(u_n\right) est strictement décroissante.
- Si r>0 alors la suite \left(u_n\right) est strictement croissante.
- Si r=0 alors la suite \left(u_n\right) est constante.
Exemple : La raison de la suite arithmétique de l’exemple précédent est r=4 > 0. Cette suite est donc strictement croissante.
Pour déterminer la somme de termes consécutifs de cette suite, on utilise la formule suivante : S=\text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}
En particulier, s_n=u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}.
Exemple : On considère la suite arithmétique \left(u_n\right)de premier terme u_0=2et de raison 4.
S_n=(n+1)\dfrac{2+2+4n}{2}=(n+1)(2+2n)
3. Les suites géométriques
Le nombre qest appelé la raison de la suite.
Exemple : La suite \left(u_n\right) définie par \begin{cases} u_0=3\\u_{n+1}=2u_n\end{cases}est une suite géométrique de premier terme u_0=3et de raison 3.
Propriété 4 :
- On considère une suite géométrique \left(u_n\right) de premier terme u_0 et de raison q.
Pour tout entier naturel n, on a u_n=u_0 \times q^n. - On considère une suite géométrique \left(u_n\right) de premier terme u_1et de raison q.
Pour tout entier naturel nnon nul, on a u_n=u_1 \times q^{n-1}.
Remarque : D’une manière générale u_n=u_p\times q^{n-p} pour tout entier naturel n \ge p.
Exemple : On considère la suite géométrique \left(u_n\right) de premier terme u_0=3et de raison 2.
Alors, pour tout entier naturel n, on a u_n=3\times 2^n.
Propriété 5 : On considère une suite géométrique \left(u_n\right) de raison q.
- Si u_0 > 0
- si q> 1 alors la suite \left(u_n\right) est croissante.
- si 0<q< 1 alors la suite \left(u_n\right) est décroissante.
- Si u_0 < 0
- si q> 1 alors la suite \left(u_n\right)est décroissante.
- si 0<q< 1 alors la suite \left(u_n\right) est croissante.
Exemple : Dans l’exemple précédent, le premier terme est u_0=3et la raison de la suite géométrique est q=2.
La suite \left(u_n\right) est donc croissante.
Pour déterminer la somme de termes consécutifs de la suite, on utilise la formule S=\text{premier terme} \times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}
En particulier S_n=u_0+u_1+\ldots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Exemple : On considère la suite géométrique \left(u_n\right)de premier terme u_0=3et de raison 2.
Alors S_n=3\times \dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} = 3\left(2^{n+1}-1\right).
II Limite d’une suite
1. Limite infinie
Définition 7 :
- On dit qu’une suite \left(u_n\right)tend vers +\inftyquand n tend vers +\infty si tout intervalle ouvert de la forme ]a;+\infty[ contient tous les termes de la suite à partir d’un rang donné n_0.
On note alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty. - On dit qu’une suite \left(u_n\right) tend vers -\infty quand n tend vers +\infty si tout intervalle ouvert de la forme ]-\infty;b[ contient tous les termes de la suite à partir d’un rang donné n_0.
On note alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty.
Représentation graphique dans le cas où \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty}
Exemples :
- On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_n=n^2.
Pour tout réel a \ge 0, si n \ge \sqrt{a} alors u_n=n^2 \ge a.
Donc, pour tout entier naturel n \ge \sqrt{a}, u_n \in ]a;+\infty[.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty. - On considère la suite \left(v_n\right)définie par v_n=-\sqrt{n}.
Pour tout réel b \le 0, si n \ge b^2 alors v_n=-\sqrt{n}\le -|b| soit v_n \le b.
Donc, pour tout entier naturel n \ge b^2, v_n \in ]-\infty;b[.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty. - \lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty, \ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty et \lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty (limites à connaître)
2. Limite finie
On écrit alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =\ell.
Si une suite n’est pas convergente est alors dite divergente.
Remarque : Une suite peut être divergente pour plusieurs raisons : elle n’a pas de limite ou elle tend vers \pm \infty.
Exemples :
- Limites de suites convergentes à connaître \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 \ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0 \ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^{\alpha}} = 0 avec \alpha > 0.
- (-1)^n = \begin{cases} 1 \ \text{si }n \text{ est pair} \\-1 \ \text{sinon}\end{cases} est le terme général d’une suite sans limite donc divergente.
Représentation graphique d’une suite convergente
On considère une suite \left(u_n\right) convergente.
Raisonnons par l’absurde et supposons que la suite possède deux limites \ell_1 et \ell_2.
On note d = \left|\ell_1-\ell_2\right| la distance séparant les deux limites.
Par définition, il existe un rang n_1 à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle I_1=\left]\ell_1-\dfrac{d}{3};\ell_1+\dfrac{d}{3}\right[ et il existe un rang n_2 à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle I_2=\left]\ell_2-\dfrac{d}{3};\ell_2+\dfrac{d}{3}\right[.
On appelle n_0=\max\left(n_1,n_2\right).
Donc, pour tout entier naturel n \ge n_0, u_n\in I_1et u_n \in I_2.
Or ces deux intervalles sont disjoints. Par conséquents u_n ne peut pas appartenir à la fois à I_1 et à I_2.
La suite \left(u_n\right) possède donc une unique limite.
3. Propriétés
On a alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x).
Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_n=2n+1.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a u_n=f(n) où f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=2x+1.
f est une fonction affine dont le coefficient directeur est strictement positif. Donc \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\inftyet ainsi \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.
Remarque : La notion de limite de fonctions est vue dans un autre chapitre de TS.
Si la suite \left(u_n\right) converge vers un réel \ell alors il vérifie \ell =f(\ell)
Remarque : La notion de fonction continue est vue dans un autre chapitre. Ce théorème n’est pas explicitement au programme.
Exemple : On admet que la suite \left(u_n\right) définie par \begin{cases} u_0=2 \\u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}\end{cases} converge vers un réel \ell.
On a alors, d’après le théorème précédent :
\begin{align*} \ell =\sqrt{2\ell-1} &\iff \ell^2 = 2\ell-1 \\
&\iff \ell^2-2\ell+1=0 \\
&\iff (\ell-1)^2=0 \\
&\iff \ell=1
\end{align*}
La suite \left(u_n\right) converge donc vers 1.
III Opérations sur les limites
Dans les trois tableaux suivants, FI (Forme Indéterminée) signifie qu’il est impossible de prévoir la limite associée. Le résultat dépend des suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right).
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{n \to +\infty} u_n&L&L&L&+\infty&+\infty&-\infty \\ \hline \lim\limits_{n \to +\infty} v_n&L’&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\ \hline \lim\limits_{n \to +\infty} u_n+v_n&L+L’&+\infty&-\infty&+\infty&\text{FI}&-\infty\\ \hline \end{array}
Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par u_n=n^2+n.
\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty et \lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty
Par somme, on obtient donc que \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{n \to +\infty} u_n&L&L\neq 0&0&+\infty&+\infty&-\infty \\ \hline \lim\limits_{n \to +\infty} v_n&L’&\pm\infty&\pm\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\ \hline \lim\limits_{n \to +\infty} u_n\times v_n&L\times L’&\pm\infty&\text{FI}&+\infty&-\infty&+\infty\\ \hline \end{array}
Le signe du \pm \infty dépend du signe de L et du signe de l’infini considéré pour la limite de \left(v_n\right).
Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par u_n=2n^2-5n+4.
On a \lim\limits_{n\to +\infty}2n^2=+\infty et \lim\limits_{n \to +\infty} -5n+4=-\infty. Tel quel on obtient une forme indéterminée.
On va factoriser par le terme de plus haut degré.
Pour tout entier naturel non nul on a :
u_n=n^2\left(2-\dfrac{5}{n}+\dfrac{4}{n^2}\right).
\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{5}{n} = 0 et \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{4}{n^2}=0 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 2-\dfrac{5}{n}+\dfrac{4}{n^2}=2.
Ainsi par produit, \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \lim\limits_{n \to +\infty} u_n&L&L&0&L&\pm\infty&\pm\infty \\ \hline \lim\limits_{n \to +\infty} v_n&L’\neq 0&0&0&\pm\infty&L’&\pm\infty\\ \hline \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}&\dfrac{L}{L’}&\pm\infty&\text{FI}&0&\pm\infty&\text{FI}\\ \hline \end{array}
Le signe des \pm \infty dépend du signe de L ou de celui L’.
Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par u_n=\dfrac{n^2+3}{3n^2+2n+1}
\lim\limits_{n \to +\infty} n^2+3=+\infty et \lim\limits_{n\to +\infty} 3n^2+2n+1=+\infty.
On est donc en présence d’une forme indéterminée.
On va factoriser le numérateur et le dénominateur par son terme de plus haut degré.
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul :
u_n=\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{1+\dfrac{3}{n^2}}{3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}}.
Or \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n^2}=0 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{3}{n^2}=1
\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{2}{n}=0 et \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}=3
Par quotient, on obtient donc que \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{1}{3}.
IV Théorèmes de comparaison
On considère trois suites \left(u_n\right), \left(v_n\right) et \left(w_n\right) définies pour tout entier naturel n telles que u_n \le v_n \le w_n à partir d’un certain rang.
Si \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell et \lim\limits_{n \to +\infty} w_n=\ell alors \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\ell.
On considère un intervalle ouvert I contenant \ell.
La suite (u_n) converge vers \ell. Soit n_1 le rang à partir duquel I contient tous les termes de la suite (u_n)
La suite (w_n) converge vers \ell. Soit n_2 le rang à partir duquel I contient tous les termes de la suite (w_n)
A partir du rang n_3on a u_n \le v_n \le w_n.
On appelle n_0 le maximum des entiers n_1, n_2 et n_3.
Par conséquent, pour tout n \ge n_0, I contient tous les termes des suites (u_n) et (w_n) et on a u_n \le v_n \le w_n.
Cela signifie donc que l’intervalle I contient également tous les termes de la suite v_n.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \ell.
Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel non nul n par u_n=\dfrac{\cos n}{n^2}.
On sait que, pour tout entier naturel, -1 \le \cos n \le 1.
Donc, pour tout entier naturel non nul n, on a \dfrac{-1}{n^2} \le u_n \le \dfrac{1}{n^2}.
Or \lim\limits_{n \to +\infty} -\dfrac{1}{n^2}=0 et \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0.
D’après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0.
Théorème 4 : (Théorème de comparaison)
On considère deux suites réelles \left(u_n\right) et \left(v_n\right)
- Si à partir d’un rang donné u_n \ge v_n et \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty
- Si à partir d’un rang donné u_n \ge v_n et \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty alors \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty
On considère un intervalle ]a;+\infty[ où a est un réel. On veut montrer que cet intervalle contient tous les termes de la suite \left(u_n\right) à partir d’un rang n_0.
\left(v_n\right) tend vers +\infty donc il existe un rang n_1 à partir duquel v_n > a.
On a de plus u_n \ge v_n à partir du rang n_2.
Posons n_0 le plus grand des deux entiers n_1 et n_2. A partir de ce rang n_0 on a donc u_n \ge v_n > a.
Par conséquent (u_n)tend vers +\infty.
On montre de la même façon la deuxième partie de ce théorème.
V Limites de suites arithmétiques et géométriques
1. Suites arithmétiques
Propriété 11 : On considère une suite arithmétique \left(u_n\right) de premier terme u_0 et de raison r.
- Si r>0 alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.
- Si r<0 alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty.
Pour tous entiers naturels n, on a u_n=u_0+nr.
- Si r>0 alors \lim\limits_{n\to +\infty} rn=+\infty et \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty
- Si r<0 alors \lim\limits_{n\to +\infty} rn=-\infty et \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty
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Remarque : Si r=0 alors la suite \left(u_n\right) est constante et \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=u_0.
2. Suites géométriques
Avant de donner la propriété sur les limites des suites géométriques on va donner un résultat intermédiaire.
Nous allons montrer cette propriété par récurrence.
Initialisation : Si n=0 alors (1+a)^0=1 et 1+na=1.
Par conséquent (1+a)^n \ge 1+na et la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n: (1+a)^n \ge 1+na.
\begin{align*}
(1+a)^{n+1}&=(1+a)^n \times (1+a) \\
& \ge (1+na)(1+a) \\
& \ge 1+a+na+na^2 \\
& \ge 1+(n+1)a+na^2 \\
& \ge 1+(n+1)a \ \text{car } na^2 \ge 0
\end{align*}
La propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel n on a (1+a)^n \ge 1+na.
Propriété 13 : On considère une suite géométrique \left(u_n\right) de premier terme u_0 et de raison q non nulle.
- Si -1<q<1 alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0
- Si q=1 alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=u_0
- Si q>1 alors \begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty \text{ si } u_0>0 \\ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty \text{ si } u_0<0 \end{cases}
- Si q<-1 alors la suite \left(u_n\right) ne possède pas de limite
On ne va montrer ici que la propriété : si q>1 alors \begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty \text{ si } u_0>0 \\ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty \text{ si } u_0<0 \end{cases}
Si q>1, il existe alors un réel a tel que q=1+a.
Ainsi q^n =(1+a)^n \ge 1+na.
Or \lim\limits_{n \to +\infty} 1+na=+\infty.
D’après le théorème de comparaison \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty.
Puisque u_n=u_0\times q^n pour tout entier naturel n on a alors \begin{cases} \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty \text{ si } u_0>0 \\ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty \text{ si } u_0<0 \end{cases}.
Exemples :
- On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_n=3 \times 0,3^n.
Il s’agit d’une suite géométrique de raison 0,3.
Puisque -1<0,3<1 cela signifie que \lim\limits_{n\to +\infty} u_n =0. - On considère la suite \left(v_n\right) définie par v_n=-3\times 2^n.
Il s’agit d’une suite géométrique de raison 2.
Puisque 2> 1 et que u_0=-3<0 cela signifie que \lim\limits_{n\to +\infty} v_n=-\infty.
VI Convergence des suites monotones
Si \lim\limits_{n\to +\infty} u_n = \ell alors la suite \left(u_n\right) est majorée par \ell, c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, u_n\le \ell.
Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde.
On suppose qu’il existe un rang n_0 tel que u_{n_0} > \ell.
Ainsi \ell \in I=\left]\ell-1;u_{n_0}\right[.
Puisque \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell alors l’intervalle I doit contenir tous les termes de la suite à partir d’un rang donné.
Or la suite \left(u_n\right) est croissante.
Donc pour tout entier naturel n\ge n_0, u_n \ge u_{n_0} et u_n \notin I (ce qui absurde).
Ainsi, pour tout entier naturel n, u_n \le \ell.
On a \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell.
On appelle n_0 le rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]\ell-1;\ell+1[.
Soit m=\min\left(u_0,u_1,\ldots,u_{n_0},\ell-1\right) et M=\max\left(u_0,u_1,\ldots,u_{n_0},\ell+1\right)
Par conséquent, pour tout entier naturel n, m \le u_n \le M.
Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse: ce n’est pas parce qu’une suite est bornée qu’elle converge nécessairement. La suite dont le terme général est (-1)^nest bornée et diverge.
Une suite non bornée diverge.
Théorème 5 : On considère une suite \left(u_n\right).
- Si \left(u_n\right) est croissante et majorée alors elle converge.
- Si \left(u_n\right) est décroissante et minorée alors elle converge.
Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_n=3-\dfrac{1}{n+1} pour tout entier naturel n.
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{1}{n+2}-\left(3-\dfrac{1}{n+1}\right) \\
&=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} \\
&=\dfrac{n+2-n-1}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}
\end{align*}
Ainsi la suite \left(u_n\right) est croissante.
De plus u_n-3=-\dfrac{1}{n+1} <0. Elle est donc majorée par 3.
La suite \left(u_n\right) est croissante et majorée : elle converge.
Remarque : Le majorant ou le minorant n’est pas nécessairement la limite de la suite.
Théorème 6 : On considère une suite \left(u_n\right).
- Si \left(u_n\right) est croissante et non majorée alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.
- Si \left(u_n\right) est décroissante et non minorée alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty
Puisque \left(u_n\right) n’est pas majorée, pour tout réel A il existe un rang n_0 pour lequel u_{n_0} \ge M.
La suite \left(u_n\right) est croissante. Donc, pour tout entier naturel n\ge n_0, u_n \ge u_{n_0} \ge M.
Par conséquent \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty.
Une démonstration analogue est valable pour le deuxième point.