1S – Exercices – Les suites – Généralités

1S – Exercices – Les suites – Généralités

 

Les suites numériques

Généralités

Exercice 1

Calculer les 4 premiers termes des suites définies de la façon suivante :

  1. Pour tout entier naturel n \ge 0,u_n=n^2+2n
  2. Pour tout entier naturel n\ge 0,v_n=100\times 1,02^n
  3. w_0=2 et pour tout entier naturel n \ge 0,w_{n+1}=3w_n-4
  4. x_0=3 et pour tout entier naturel n\ge 0,x_{n+1}=-{x_n}^2+x_n+1
Correction Exercice 1
  1. u_0=0^2+2\times 0 =0
    u_1=1^2+2\times 1 = 1 + 2=3
    u_2=2^2+2\times 2=4+4=8
    u_3=3^2+2\times 3=9+6=15
  2. v_0=100\times 1,02^0=100\times 1 =100
    v_1=100\times 1,02^1=100\times 1,02 =102
    v_2=100\times 1,02^2=100\times 1,040~4 =104,04
    v_3=100\times 1,02^3=100\times 1,061~208 =106,120~8
  3. w_1=3w_0-4=6-4=2
    w_2=3w_1-4=6-4=2
    w_3=3w_2-4=6-4=2
    w_4=3w_1-4=6-4=2
    Remarque : La suite \left(w_n\right) est constante.
  4. x_1=-{x_0}^2+x_0+1=-9+3+1=-5
    x_2=-{x_1}^2+x_1+1=-25-5+1=-29
    x_3=-{x_2}^2+x_2+1=-841-29+1=-869
    x_4=-{x_3}^2+x_3+1=-755~161-869+1=-756~029
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Exercice 2

On considère la suite définie pour tout entier naturel n\ge 0 par u_n=2+\dfrac{3}{n+1}.

  1. Quel est le 15^{\text{ème}} terme de cette suite?
  2. Calculer le terme de rang 1~000.
Correction Exercice 2
  1. Le premier terme étant u_0,on veut calculer u_{14}.
    u_{14} = 2+\dfrac{3}{14+1}=\dfrac{11}{5}=2,2.
  2. On calcule u_{1~000}=2+\dfrac{3}{1~000+1}=\dfrac{2~005}{1~001}
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Exercice 3

On définit la suite \left(u_n\right)_{n\in\N} par \begin{cases} u_0=-2\\u_{n+1}=2u_n+3\text{ pour tout }n\in\N\end{cases}.

  1. Calculer le terme de rang 2.
  2. On donne u_{10}=1~021. Calculer le terme suivant.
  3. On donne u_8=253. Calculer le terme précédent.
  4. On donne u_n=8~189. Calculer u_{n+2}.
Correction Exercice 3
  1. u_1=2u_0+3=-4+3=-1
    u_2=2u_1+3=-2+3=1
  2. u_{11}=2u_{10}+3=2~042+3=2~045
  3. On sait que u_{8}=253.
    Or :
    \begin{align*} u_8=2u_7+3 &\iff 253=2u_7+3 \\ &\iff 250=2u_7\\ &\iff u_7=125 \end{align*}
  4. Si u_n=8~189 alors u_{n+1}=2u_n+3=16~378+3=16~381
    u_{n+2}=2u_{n+1}+3=32~762+3=32~765
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Exercice 4

On considère la suite \left(w_n\right) définie par son premier terme w_0=1 et telle qu’en multipliant un terme par 3,on obtienne le terme suivant.

  1. Déterminer w_1 et w_2.
  2. Donner la relation reliant w_{n+1} et w_n.
Correction Exercice 4
  1. On a donc w_1=3w_0=3 et w_2=3w_1=9.
  2. Pour tout entier naturel n\ge 0 on a w_{n+1}=3w_n.
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Exercice 5

On considère la suite \left(w_n\right) définie par son premier terme w_0=5 et telle qu’en ajoutant 2 à un terme, on obtienne le terme suivant.

  1. Déterminer w_1 et w_2.
  2. Donner la relation reliant w_{n+1} et w_n.
Correction Exercice 5
  1. w_1=2+w_0=7 et w_2=2+w_1=9
  2. Pour tout entier naturel n\ge 0 on a w_{n+1}=2+w_n.
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Exercice 6

La suite \left(c_n\right) est définie par c_0=3 et, pour entier naturel n\ge 0,c_{n+1}=2c_n+n-3.

Exprimer c_{n+2} en fonction de c_{n+1} puis c_{n+2} en fonction de c_n.

Correction Exercice 6
\begin{align*} c_{n+2}&=2c_{n+1}+n+1-3\\ &=2c_{n+1}+n-2 \qquad (1) \\ &=2\left(2c_n+n-3\right)+n-2\\ &=4c_n+2n-6+n-2\\ &=4c_n+3n-8 \qquad (2) \end{align*}
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Exercice 7

La suite \left(u_n\right) est définie pour tout entier naturel n \ge 0 par u_n=n^2+n+1.

  1. Exprimer u_{n+1} en fonction de n.
  2. Montrer que, pour tout n\ge 0,on a u_n> 0.
    On pourra s’intéresser au trinôme n^2+n+1.
Correction Exercice 7
  1. \begin{align*}u_{n+1}&=(n+1)^2+(n+1)+1\\&=n^2+2n+1+n+1+1\\&=n^2+3n+3\end{align*}
  2. u_n=n^2+n+1
    On considère le polynôme P défini sur \R par P(x)=x^2+x+1.
    On calcule le discriminant avec a=1,b=1 et c=1.
    \Delta = 1^2-4\times 1\times 1=-3<0
    Puisque a=1>0,pour tout réel x on a P(x)>0.
    Or u_n=P(n).
    Par conséquent, pour tout entier naturel n\ge 0,on a u_n>0.
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