1, 2, 3, 6, 9 et 18 sont les diviseurs de 18 dans \N.
L’ensemble des diviseurs dans \Z de 18 est donc :
\{ -1;1;-2;2;-3;3;-6;6;-9;9;-18;18 \}

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sont les diviseurs de 24 dans \N.
L’ensemble des diviseurs dans \Z de 18 est donc :
\{-1;1;-2;2;-3;3;-6;6;-8;8;-12;12;-24;24\}

1, 2, 5, 10, 25, 50 sont les diviseurs de 50 dans \N
L’ensemble des diviseurs dans \Z de 18 est donc :
\{-1;1;-2;2;-5;5;-10;10;-25;25;-50;50\}

Le plus petit multiple de 39 appartenant à [-300;500] est -273 et le plus grand est 468.
Si on note u_0=-273 on cherche alors tous le rang de468 dans la suite arithmétique de raison 39 et de premier terme u_0.
468=-273+39*n \iff n=\dfrac{468+273}{39} \iff n=19.
Il y a donc 20 multiples de 39 entre -300 et 500.

1. Les diviseurs de 15 dans \N sont 1, 3, 5 et 15.
2. x^2-y^2=15\iff (x-y)(x+y)=15.
   Cela revient à chercher les solutions des systèmes suivants :
   – \begin{cases} x+y=15\\x-y=1\end{cases} \iff \begin{cases} x=8\\y=7\end{cases}
   – \begin{cases} x+y=5\\x-y=3\end{cases} \iff \begin{cases} x=4\\y=1\end{cases}
   – \begin{cases} x+y=3\\x-y=5\end{cases} n’a pas de solutions dans \N^2
   – \begin{cases} x+y=1\\x-y=15\end{cases} n’a pas de solutions dans \N^2

   Les seuls couples solutions appartenant à \N^2 sont donc (8;7) et (4;1).

• n est soit pair, soit impair.
  • • Si n est pair alors il existe un entier naturel k tel que n=2k.
      Ainsi n^3-n=2k(2k-1)(2k+1) est divisible par 2.
    • Si n est impair alors il existe un entier naturel k tel que n=2k+1.
      Ainsi n^3-n=(2k+1)\times 2k(2k+2) est divisible par 2.

  Donc, pour tout entier naturel n, n^3-n est divisible par 2.

• n s’écrit sous la forme 3k, 3k+1 ou 3k+2
  • • S’il existe un entier naturel k tel que n=3k alors :
      n^3-n=3k(3k-1)(3k+1) est divisible par 3.
    • S’il existe un entier naturel k tel que n=3k+1 alors :
      n^3-n=(3k+1)\times 3k(3k+2) est divisible par 3.
    • S’il existe un entier naturel k tel que n=3k+2 alors :
      n^3-n=(3k+2)\times (3k+1)(3k+3)=(3k+2)(3k+1)\times 3(k+1) est divisible par 3.

  Donc, pour tout entier naturel n, n^3-n est divisible par 3.

Pour tout entier naturel n, n^3-n est donc divisible par 2 et 3.

On appelle d un diviseur commun à a et b.
Il existe donc deux entiers naturels n et m tels que a=dn et b=dm.
Ainsi \begin{cases} dn=3k+5\\dm=2k+1\end{cases}\iff \begin{cases}3k+5=dn \\7=2dn-3dm & L_2\leftarrow 2L_1-3L_2\end{cases}.
Par conséquent (2n-3m)d=7.
d est donc un diviseur de 7. Ce ne peut être que 1 ou 7.

1 est toujours un diviseur commun à a et b.
Si k=3 alors a=14 et b=7 et 7 divise bien a et b.

1. Si n-3 divise n^2+3 alors il existe un entier naturel k tem que n^2+3=k(n-3)
   Or :
   \begin{align*} n^2+3&=n^2-9+12 \\ &=(n-3)(n+3)+12\end{align*}
   Par conséquent
   \begin{align*} (n-3)(n+3)+12=k(n-3) &\iff k(n-3)-(n-3)(n+3)=12 \\ &\iff (n-3)(k-n-3)=12\end{align*}
   Donc n-3 divise 12.
   Ainsi n-3\in \{-12;-6;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;6;12\} et donc n\in \{-9;-3;-1;0;1;2;4;5;6;9;15\}.
   Or n est un entier naturel donc n\in \{0;1;2;4;5;6;9;15\} .
   – Si n=0 alors n^2+3=3 et n-3=-3 : -3 divise 3.
   – Si n=1 alors n^2+3=4 et n-3=-2 : -2 divise 4.
   – Si n=2 alors n^2+3=7 et n-3=-1 : -1 divise 7.
   – Si n=4 alors n^2+3=19 et n-3=1 : 1 divise 19.
   – Si n=5 alors n^2+3=28 et n-3=2 : 2 divise 28.
   – Si n=6 alors n^2+3=39 et n-3=3 : 3 divise 39.
   – Si n=15 alors n^2+3=228 et n-3=12 : 12 divise 228.
   L’ensemble des entiers naturels n tels que n-3 divise n^2+3 est \{-9;-3;-1;0;1;2;4;5;6;9;15\}.
2. Si n-3 divise n^2-3 alors il existe un entier naturel k tel que n^2-3=k(n-3)
   n^2-3=n^2-9+6
   Par conséquent
   \begin{align*} n^2-9+6=k(n-3) &\iff (n-3)(n+3)+6=k(n-3) \\ &\iff 6=k(n-3)-(n+3) \\ &\iff 6=(n-3)(k-n-3)\end{align*}
   Par conséquent n-3 divise 6.
   Ainsi n-3\in \{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\} soit n\in \{-3;0;1;2;4;5;6;9\}
   Or n est un entier naturel donc n\in \{0;1;2;4;5;6;9\}.
   – Si n=0 alors n^2-3=-3 et n-3=-3 : -3 divise -3.
   – Si n=1 alors n^2-3=-2 et n-3=-2 : -2 divise -2.
   – Si n=2 alors n^2-3=1 et n-3=-1 : -1 divise 1.
   – Si n=4 alors n^2-3=13 et n-3=1 : 13 divise 1.
   – Si n=5 alors n^2-3=22 et n-3=2 : 2 divise 22.
   – Si n=6 alors n^2-3=33 et n-3=3 : 3 divise 33.
   – Si n=9 alors n^2-3=78 et n-3=6 : 6 divise 78.
   L’ensemble des entiers naturels n tels que n-3 divise n^2-3 est \{0;1;2;4;5;6;9\} .

Pour tout n\in \N^* on pose P(n):~2^{2n}+6n-1 est divisible par 9.

Initialisation : Si n=1 alors 2^{2n}+6n-1=9 et 9 est bien divisible par 9.
Ainsi P(1) est vraie.

Hérédité : Soit n\in \N^*. On suppose que P(n) est vraie.
\begin{align*} 2^{2(n+1)}+6(n+1)-1&=2^{2n+2}+6n+6-1 \\ &=4\times 2^{2n}+6n+5 \\ &=4\left(2^{2n}+6n-1\right)-4\times 6n+4+6n+5 \\ &=4\left(2^{2n}+6n-1\right)-18n+9\end{align*}
Or, 18 et 9 sont divisibles par 9 et, par hypothèse de récurrence, 2^{2n}+6n-1 l’est également.
Donc 2^{2(n+1)}+6(n+1)-1 est divisible par 9 et P(n+1) est vraie.

Conclusion : La propriété P(n) est vraie pour n=1 et est héréditaire. Ainsi, pour tout n\in \N^*, 2^{2n}+6n-1 est divisible par 9.

1. On appelle d un diviseur commun à 3n-1 et 5n-2.
   d divise donc 5(3n-1)-3(5n-2)=1.
   Ainsi 3n-1 et 5n-2 sont premiers entre eux.
2. On appelle d un diviseur commun à 11n+6 et 9n+5.
   d divise donc 9(11+6)-11(9n+5)=-1.
   Ainsi 3n-1 et 5n-2 sont premiers entre eux.

1. Pour tout n\in \N^* on pose P(n):~6 divise n^3+11n.
   Initialisation : Si n=1 alors n^3+11n=12. Or 6 divise bien 12.
   Donc P(1) est vraie.

   Hérédité : Soit n\in \N^*. On suppose P(n) vraie.
   6 divise n^3+11n. Il existe donc un entier naturel k non nul tel que n^3+11n=6k
   \begin{align*} (n+1)^3+11(n+1)&= n^3+3n^2+3n+1+11n+11 \\
   &=n^3+11n + 3n^2+3n+12 \\
   &=6k+3\left(n^2+n+4\right) \end{align*}[/katex]
   \bullet Si n est pair il existe alors un entier naturel non nul q tel que n=2q.
   Ainsi :
   \begin{align*} n^2+n+4&=4q^2+2q+4 \\ &=2\left(2q^2+q+2\right)\end{align*} Ainsi [katex](n+1)^3+11(n+1)=6k+6\left(2q^2+q+2\right) et (n+1)^3+11(n+1) est divisible par 6.
   \bullet Si n est impair il existe alors un entier naturel q tel que n=2q+1.
   Ainsi :
   \begin{align*} n^2+n+4&=(2q+1)^2+2q+1+4 \\ &=4q^2+4q+1+2q+5 \\ &=4q^2+6q+6 \\ &=2\left(2q^2+3q+3\right)\end{align*}
   Ainsi (n+1)^3+11(n+1)=6k+6\left(2q^2+3q+3\right) et (n+1)^3+11(n+1) est divisible par 6.

   Par conséquent P(n+1) est vraie.

   Conclusion : P(1) est vraie et P(n) est héréditaire. Donc, pour tout n\in \N^*, n^3+11n est divisible par 6.

2. b divise a. Il existe donc un entier naturel k tel a=bk.
   c divise a. Il existe donc un entier naturel k’ tel a=ck’.
   Par conséquent bk=ck’.
   b et c sont premiers entre eux. Par conséquent b divise k’.
   Il existe ainsi un entier naturel q tel que k’=bq
   Donc a=bcq et bc divise a.
3. On a n^3+11n=n(n^2+11).
   \bullet Si n est pair alors n^3+11n est également pair
   \bullet Si n est impair alors n^3 et 11 sont impairs et leur somme est pair.
   Ainsi n^3+11n est divisible par 2.

   \bullet S’il existe un entier naturel k tel que n=3k alors n\left(n^2+11\right) est divisible par 3.
   \bullet S’il existe un entier naturel k tel que n=3k+1 alors n^2+11=9k^2+6k+12 est divisible par 3.
   \bullet S’il existe un entier naturel k tel que n=3k+2 alors n^2+11=9k^2+12k+15 est divisible par 3.
   Ainsi n^3+11n est dans tous les cas divisibles par 3.

   2 et 3 sont premiers entre eux et divisent tous les deux n^3+11n.
   D’après la question précédente, leur produit divise n^3+11n.
   Ainsi n^3+11n est divisible par 6.