Terminale – Maths expertes – Arithmétique – division euclidienne
Arithmétique
Division euclidienne
Exercice 1
Pose et effectue les divisions euclidiennes suivantes :
- 329 \div 4
- 715 \div 7
- 845 \div 18
- 2~718 \div 9
- 4~327 \div 24
- 8~363 \div 15
- 329 \div 4
\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lccc}
&3&2&9\\
-&3&2 \\
\hline
&&0&9\\
-&&&8\\
\hline
&&&1\end{array}&\ {\begin{array}{l}
~~4~~\\
\hline
~~8~2~~\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
Ainsi 329 = 4 \times 82 + 1
- 715 \div 7
\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lccc}
&7&1&5\\
-&7& \\
\hline
&0&1&\\
-&&0&\\
\hline
&&1&5\\
-&&1&4\\
\hline
&&&1\end{array}&{\begin{array}{l}
~~7~~\\
\hline
~~1~0~2~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
Ainsi 715 = 7 \times 102 + 1
- 845 \div 18
\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lccc}
&8&4&5\\
-&7&2 \\
\hline
&1&2&5\\
-&1&0&8\\
\hline
&&1&7\end{array}& {\begin{array}{l}
~~1~8~~\\
\hline
~~4~6~~\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
Ainsi 845 = 18 \times 46 + 17
- 2~718 \div 9
\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lcccc}
&2&7&1&8\\
-&2&7 \\
\hline
&&0&1&\\
-&&&0&\\
\hline
&&&1&8\\
-&&&1&8\\
\hline
&&&&0\end{array}& {\begin{array}{l}
~~9~~\\
\hline
~~3~0~2~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
Ainsi 2~718 = 9 \times 302
- 4~327 \div 24
\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lcccc}
&4&3&2&7\\
-&2&4 \\
\hline
&1&9&2&\\
-&1&9&2&\\
\hline
&&&0&7\\
-&&&&0\\
\hline
&&&&7\end{array}& {\begin{array}{l}
~~2~4~~\\
\hline
~~1~8~0~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
Ainsi 4~327 = 24 \times 180 + 7
- 8~363 \div 15
\begin{array}{r|l}
\begin{array}{lcccc}
&8&3&6&3\\
-&7&5 \\
\hline
&&8&6&\\
-&&7&5&\\
\hline
&&1&1&3\\
-&&1&0&5\\
\hline
&&&&8\end{array}& {\begin{array}{l}
~~1~5~~\\
\hline
~~5~5~7~~\\
\\
\\
\\
\\
\\\end{array} }
\end{array}
Ainsi 8~363 = 15 \times 557 + 8
Exercice 2
Quand on divise n par 4, le reste est 3, quand on divise n par 5 le reste est 1, le quotient est le même.
Déterminer n.
On appelle q le quotient des deux divisions euclidiennes.
On a donc n=4q+3 et n=5q+1.
Ainsi 4q+3=5q+1 \iff q=2.
Par conséquent n=4\times 2+3 soit n=11.
Exercice 3
Dans la division euclidienne entre 2 entiers positifs, le dividende est 1~517 et le quotient est 75.
Quels peuvent être le diviseur et le reste?
On cherche à déterminer les entiers naturels d et r tels que 1~517=75\times d+r et r<75.
Or 1~517 = 75 \times 20 + 17. De plus 17<75.
Par conséquent le diviseur est 20 et le reste 17.
Exercice 4
On effectue la division euclidienne de a par b, puis on augmente le dividende de 52 et le diviseur de 4 . Le quotient et le reste ne changent pas. Calculer le quotient.
On appelle q le quotient et r le reste de ces divisions.
On a donc a=qb+r et a+52=q(b+4)+r \iff a+52=qb+4q+r.
Par conséquent 52=4q soit q=13.
Le quotient de ces divisions euclidiennes est donc 13.
Exercice 5
La somme de deux entiers naturels a et b est 416. La division euclidienne de a par b donne 4 pour quotient et 61 pour reste.
Déterminer a et b.
On a donc le système
\begin{align*} \begin{cases} a+b=416\\a=4b+61\end{cases} &\iff \begin{cases} a=4b+61\\4b+61+b=416\end{cases} \\
&\iff \begin{cases} a=4b+61\\5b=355\end{cases} \\
&\iff \begin{cases} b=71\\a=345\end{cases}\end{align*}
Ainsi a=345 et b=71.