13 septembre 2023

Terminale – Maths expertes – Arithmétique – division euclidienne

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Arithmétique

Division euclidienne

Exercice 1

Pose et effectue les divisions euclidiennes suivantes :

$329 \div 4$
$715 \div 7$
$845 \div 18$
$2~718 \div 9$
$4~327 \div 24$
$8~363 \div 15$

Correction Exercice 1

$329 \div 4$ $\begin{array}{r|l} \begin{array}{lccc} &3&2&9\\ -&3&2 \\ \hline &&0&9\\ -&&&8\\ \hline &&&1\end{array}&\ {\begin{array}{l} ~~4~~\\ \hline ~~8~2~~\\ \\ \\ \\\end{array} } \end{array}$
Ainsi $329 = 4 \times 82 + 1$
$715 \div 7$ $\begin{array}{r|l} \begin{array}{lccc} &7&1&5\\ -&7& \\ \hline &0&1&\\ -&&0&\\ \hline &&1&5\\ -&&1&4\\ \hline &&&1\end{array}&{\begin{array}{l} ~~7~~\\ \hline ~~1~0~2~~\\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} } \end{array}$
Ainsi $715 = 7 \times 102 + 1$
$845 \div 18$ $\begin{array}{r|l} \begin{array}{lccc} &8&4&5\\ -&7&2 \\ \hline &1&2&5\\ -&1&0&8\\ \hline &&1&7\end{array}& {\begin{array}{l} ~~1~8~~\\ \hline ~~4~6~~\\ \\ \\ \\\end{array} } \end{array}$
Ainsi $845 = 18 \times 46 + 17$
$2~718 \div 9$ $\begin{array}{r|l} \begin{array}{lcccc} &2&7&1&8\\ -&2&7 \\ \hline &&0&1&\\ -&&&0&\\ \hline &&&1&8\\ -&&&1&8\\ \hline &&&&0\end{array}& {\begin{array}{l} ~~9~~\\ \hline ~~3~0~2~~\\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} } \end{array}$
Ainsi $2~718 = 9 \times 302$
$4~327 \div 24$ $\begin{array}{r|l} \begin{array}{lcccc} &4&3&2&7\\ -&2&4 \\ \hline &1&9&2&\\ -&1&9&2&\\ \hline &&&0&7\\ -&&&&0\\ \hline &&&&7\end{array}& {\begin{array}{l} ~~2~4~~\\ \hline ~~1~8~0~~\\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} } \end{array}$
Ainsi $4~327 = 24 \times 180 + 7$
$8~363 \div 15$ $\begin{array}{r|l} \begin{array}{lcccc} &8&3&6&3\\ -&7&5 \\ \hline &&8&6&\\ -&&7&5&\\ \hline &&1&1&3\\ -&&1&0&5\\ \hline &&&&8\end{array}& {\begin{array}{l} ~~1~5~~\\ \hline ~~5~5~7~~\\ \\ \\ \\ \\ \\\end{array} } \end{array}$
Ainsi $8~363 = 15 \times 557 + 8$

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Exercice 2

Quand on divise $n$ par $4$ , le reste est $3$ , quand on divise $n$ par $5$ le reste est $1$ , le quotient est le même.
Déterminer $n$ .

Correction Exercice 2

On appelle $q$ le quotient des deux divisions euclidiennes.
On a donc $n=4q+3$ et $n=5q+1$ .
Ainsi $4q+3=5q+1 \iff q=2$ .
Par conséquent $n=4\times 2+3$ soit $n=11$ .

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Exercice 3

Dans la division euclidienne entre $2$ entiers positifs, le dividende est $1~517$ et le quotient est $75$ .
Quels peuvent être le diviseur et le reste?

Correction Exercice 3

On cherche à déterminer les entiers naturels $d$ et $r$ tels que $1~517=75\times d+r$ et $r<75$ .

Or $1~517 = 75 \times 20 + 17$ . De plus $17<75$ .

Par conséquent le diviseur est $20$ et le reste $17$ .

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Exercice 4

On effectue la division euclidienne de $a$ par $b$ , puis on augmente le dividende de $52$ et le diviseur de $4$ . Le quotient et le reste ne changent pas. Calculer le quotient.

Correction Exercice 4

On appelle $q$ le quotient et $r$ le reste de ces divisions.
On a donc $a=qb+r$ et $a+52=q(b+4)+r \iff a+52=qb+4q+r$ .

Par conséquent $52=4q$ soit $q=13$ .

Le quotient de ces divisions euclidiennes est donc $13$ .

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Exercice 5

La somme de deux entiers naturels $a$ et $b$ est $416$ . La division euclidienne de $a$ par $b$ donne $4$ pour quotient et $61$ pour reste.
Déterminer $a$ et $b$ .

Correction Exercice 5

On a donc le système
$\begin{align*} \begin{cases} a+b=416\\a=4b+61\end{cases} &\iff \begin{cases} a=4b+61\\4b+61+b=416\end{cases} \\ &\iff \begin{cases} a=4b+61\\5b=355\end{cases} \\ &\iff \begin{cases} b=71\\a=345\end{cases}\end{align*}$

Ainsi $a=345$ et $b=71$ .

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