7 novembre 2023

TS – Bac Blanc – 2014

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

Étude d’une fonction auxiliaire
a. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0~;~ +\infty[$ par
\[g(x) = x^2\text{e}^x – 1.\]
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ .
$\quad$
b. Démontrer qu’il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$ .
Démontrer que $a$ appartient à l’intervalle $[0,703~;~0,704[$ .
$\quad$
c. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$ .
$\quad$
Étude de la fonction $f$
a. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$ .
$\quad$
b. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$ .
Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ .
$\quad$
c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$ .
$\quad$
d. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$
$\quad$
e. Justifier que $3,43 < m < 3,45$ .

\quad

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces.

La machine A assure $40 \%$ de la production et la machine B en assure $60 \%$ .
On estime que $10\%$ des pièces issues de la machine A ont un défaut et que $9\%$ des pièces issues de la machine B ont un défaut.
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants :
• $A$ : “La pièce est produite par la machine A”
• $B$ : “La pièce est produite par la machine B”
• $D$ : “La pièce a un défaut”.
• $\overline{D}$ , l’évènement contraire de l’évènement $D$ .
$\quad$
a. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A.
$\quad$
c. Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l’évènement $D$ est égale à $0,094$ .
$\quad$
d. On constate que la pièce choisie a un défaut.
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
$\quad$
On estime que la machine A est convenablement réglée si $90\%$ des pièces qu’elle fabrique sont conformes.
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ( $n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X_{n}$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l’échantillon de $n$ pièces.
a. Justifier que la variable aléatoire $X_{n}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer en fonction de $n$ la probabilité que toutes les pièces soient conformes.
$\quad$
c. Donner la valeur de $n$ à partir de laquelle la probabilité que toutes les pièces soient conformes est inférieure à 0,5.
$\quad$
d. On donne l’algorithme suivant, où “binom( $n,k$ ) correspond au coefficient binomial $\displaystyle \binom{n}{k}$ :
Variables :
$\quad$ $k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.
$\quad$ $s$ est un nombre réel.
Entrée :
$\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $n$ .
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $s$ la valeur $0$ .
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n$
$\quad$ $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s+$ binom $(n,k)\times 0,9^k \times 0,1^{n-k}$ .
$\quad$ Fin de boucle.
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$ .
$\quad$
Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la valeur de $m$ à partir de laquelle $P(X \le m) \ge 0,9$ .

\quad

Correction

\quad

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissance

On admet le résultat suivant :

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $a$ strictement positif, $\displaystyle (1+a)^n \ge 1+na$ .

Lorsque $q > 1$ , montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty$ .

\quad

Partie B

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\\\
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]

Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$ .
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\]
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$ .
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\]
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x – x \ln 2$ .
a. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ .
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

\quad

Correction

\quad

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O;\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}\right)$ .

On note $\mathbf{C}$ l’ensemble des nombres complexes.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition : Pour tout entier naturel $n$ : $(1+i)^{4n} = (-4)^n$ .
$\quad$
Soit (E) l’équation $(z-4)\left(z^2-4z+8\right)=0$ , où $z$ désigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbf{C}$ de (E) sont les sommets d’un triangle d’aire 8.
$\quad$
Proposition : Pour tout nombre complexe $z$ , $\text{Re} \left(z^2\right) = \left(\text{Re}(z)\right)^2$ .
$\quad$
Proposition : Pour tout nombre complexe $z$ , si $|1+i z| = [1 - i z|$ , alors la partie imaginaire de $z$ est nulle.
$\quad$
Proposition : L’ensemble des solutions dans $\mathbf{C}$ de l’équation $\displaystyle \dfrac{z-2}{z-1} = z$ est $\{1-i\}$ .

\quad

Correction

\quad

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On pose $A= \begin{pmatrix} -3&2\\\\ 0&-3\\\\ \end{pmatrix}$ et $N= \begin{pmatrix} 0&2\\\\ 0&0\\\\\end{pmatrix}$
a. Exprimer $A$ en fonction de $I$ , matrice identité d’ordre 2, et de $N$ .
$\quad$
b. Déterminer la matrice $N^2$ et en déduire une expression de $A^2$ en fonction de $I$ et de $N$ .
$\quad$
c. Montrer alors que, pour tout entier naturel, $k$ non nul on a : $A^k =(-3)^kI+k(-3)^{k-1}N$ .
$\quad$
On considère l’équation $\qquad (E) : 23x -26y = 1$ $\quad$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
a. Sans faire de calcul, justifier que cette équation possède au moins une solution.
$\quad$
b. Déterminer, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, une solution de l’équation $(E)$ .
$\quad$
c. Résoudre alors l’équation $(E)$ .
$\quad$
d. En déduire un entier $a$ tel que $0 \le a \le 25$ et $23a~ \equiv ~1 ~~\text{mod}(26)$ .

\quad

Solution exercice 1 +
Correction
1. a. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\left(2 + x \right)\text{e}^x$
  Sur $]0;+\infty[$ , $x$ et $x+2$ sont positifs. Par conséquent, $g'(x) > 0$ pour tout $x > 0$ .
  La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
  $\quad$
  b. La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
  $g(0)=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^2\text{e}^x = +\infty$ . Donc $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}g(x) = +\infty$ . $0 \in ]-1;+\infty[$ .
  D’après le théorème de la bijection, il existe un unique $a \in [0;+\infty[$ tel que $g(a) = 0$ .
  $g(0,703) \thickapprox -1,8 \times 10^{-3} < 0 \quad$ et $\quad g(0,704) \thickapprox 2 \times 10^{-3} > 0$ .
  Donc $a \in [0,703;0,704]$ .
  $\quad$
  c. Par conséquent $g(x) < 0$ sur $[0;a[$ , $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$ .
2. a. $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} f(x) = +\infty$
  $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
  $\quad$
  b. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ ; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
  Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2\text{e}^x – 1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$ .
  $\quad$
  c. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$
  d. $f$ admet donc un minimum en $a$ . Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$ d’où $\text{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$ .
  $m = f(a) = \text{e}^a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$ .
  $\quad$
  e. $0,703 < a < 0,704$ donc : $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$ $\quad$ et $\quad$ $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$
  Soit $\dfrac{1}{0,704}+\dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
  d’où $3,43 < m < 3,45$ .

Solution exercice 2 +
Correction
1. a.
  
  b. On cherche donc à calculer $p(A\cap D) = 0,4 \times 0,1 = 0,04$
  
  c. $p(D) = p((A\cap D)\cup(B\cap D))$ \quad Ces 2 évènements forment une partition de $D$ .
  
  Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales: $p(D) = p(A\cap D) + p(B \cap D) = 0,04 + 0,6 \times 0,09 = 0,094$
  
  d. On cherche à calculer $p_D(A) = \dfrac{p(A\cap D)}{p(D)} = \dfrac{0,04}{0,094} = \dfrac{20}{47}$
2. a. Une pièce possède 2 états : elle a un défaut ou elle n’en a pas. Les $n$ pièces sont choisies au hasard et les tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
  Par conséquent la variable aléatoire $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,9$ .
  
  b. Si On cherche la probabilité $\displaystyle P(X=n) = \binom{n}{n}0,9^n = 0,9^n$
  
  c. On cherche donc la valeur de $n$ telle que $0,9^n < 0,5 \Leftrightarrow n\text{ln}~ 0,9 < \text{ln}~ 0,5$
  Or $0 < 0,9 <1$ donc $\ln 0,9 < 0$ .
  
  Par conséquent $n\ln 0,9 < \ln 0,5 \Leftrightarrow n > \dfrac{\text{ln}~ 0,5}{\text{ln}~ 0,9} \Leftrightarrow n \ge 7$
  
  La probabilité que toutes les pièces soient conformes est inférieure à 0,5 dès que $n \ge 7$ .
  
  d.
  Variables :
  $k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.
  $s$ est un nombre réel.
  Entrée :
  Demander à l’utilisateur la valeur de $n$ .
  Initialisation :
  Affecter à $s$ la valeur $0$ .
  Affecter à $k$ la valeur $0$ .
  Traitement :
  Tant que $s$ < 0,9
  $\qquad$ Affecter à $k$ la valeur $k+1$ .
  $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s+$ binom $(n,k)\times 0,9^k \times 0,1^{n-k}$ .
  Fin Tant que.
  Sortie :
  Afficher $k$ .